Θέματα πανελλήνιες 2011 μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής ή μαθηματικά γενικής

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β΄)
ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι:
Ρ(Α–Β)=Ρ(Α) – Ρ(Α∩Β).
Μονάδες 7
Α2. Πότε δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα;
Μονάδες 4
Α3. Τι εκφράζει η σχετική συχνότητα fi μιας παρατήρησης xi ενός δείγματος.
Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα, στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Η διακύμανση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις.
Μονάδες 2
β) Σε μία κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή, δηλαδή R≈6x.
Μονάδες 2
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x)))΄=f΄(g(x))·g΄(x)
Μονάδες 2
δ) Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο δείγμα.
Μονάδες 2
ε) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, αν ο συντελεστής μεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 10%.
Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Β
Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και μαύρες σφαίρες. Παίρνουμε τυχαία μια σφαίρα. Η πιθανότητα να είναι μαύρη είναι P(M)=41, η πιθανότητα να είναι άσπρη είναι P(A)=4λ2 και η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι P(K)=4−5λ+7 , όπου . Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64<Ν(Ω)<72, τότε λ∈Β1. Να δείξετε ότι Ν(Ω)=68
Μονάδες 6
Β2. Να υπολογιστεί η τιμή του λ
Μονάδες 8
Β3. Να βρείτε πόσες άσπρες, πόσες μαύρες και πόσες κόκκινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί.
Μονάδες 6
Β4. Παίρνουμε τυχαία μία σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα αυτή να είναι άσπρη ή μαύρη.
Μονάδες 5
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Γ
Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους ομαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων με κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων fi% έχει διαδοχικές κορυφές τις:
Α(8, 0) Β(10, 10) Γ(12, 20) Δ(14, yΔ)
E(16, yΕ) Ζ(18, 10) Η(20, 0)
όπου yΔ, yΕ οι τεταγμένες των κορυφών Δ και Ε του πολυγώνου ΑΒΓΔΕΖΗ.
Γ1. Να υπολογιστούν οι τεταγμένες yΔ και yΕ των κορυφών Δ και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή των πωλήσεων στη διάρκεια του έτους είναι 14200 ευρώ και το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα
Μονάδες 7
Γ2. Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων fi%.
Μονάδες 3
Γ3. Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων fi% της κατανομής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους.
Μονάδες 7
Γ4. Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 15000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό.
Μονάδες 4
Γ5. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθμό των πωλητών που
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο Γ4 ερώτημα.
Μονάδες 4
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=5x210xx11312f(x)e, x∈
Δ1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.
Μονάδες 8
Δ2. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ΑOEΒ και Ρ(Α), Ρ(Β) είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ(Α∩Β), Ρ(Α–Β), Ρ(Α»Β), Ρ(Β–Α).
Μονάδες 8
Δ3. Δίνεται η συνάρτηση ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=3x12x3x512h(x)e, x∈.
α) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=h(x).
Μονάδες 3
β) Aν x1< x2< x3 οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και vi=2xi+1, i=1,2,3 οι συχνότητες των παρατηρήσεων xi τότε να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων.
Μονάδες 6
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.
4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες.
5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ.
6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
7. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.30 π.μ.
Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!:)